Функція

Декартова система координат (ДСК): каждой точке на координатной плоскости можно поставить в соответствие два действительных числа, соответствующих точкам пересечения прямых с осями координат, проходящих через данную точку, параллельно осям координат

границы интервалов: 1) открытая (выколотая точка, круглые скобки, строгие знаки неравенств), 2) закрытая (закрашенная точка, квадратные скобки, нестрогие знаки неравенств)

Свойства функций

способы задания функций: 1) аналитический (формулой), 2) табличный, 3) графический

область определения функции: множество значений независимой переменной, для которых функция определена (тень от графика функции на ось абсцисс)

область значений функции: множество значений, которые принимает функция на всей области определения (тень от графика функции на ось ординат)

уравнение оси абсцисс и уравнение оси ординат

монотонно возрастающая функция (или область возрастания функции): большему значению аргумента соответствует большее значение функции (или: меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

монотонно убывающая функция (или область убывания функции): большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (или: меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции)

четная функция: функция, для каждого значения аргумента которой из области определения выполняется данное условие четности. Четная функция, это функция, каждая точка которой имеет симметричную относительно оси ординат точку, принадлежащую функции

нечетная функция: функция, для каждого значения аргумента которой из области определения выполняется данное условие нечетности. Нечетная функция, это функция, каждая точка которой имеет симметричную относительно начала координат точку, принадлежащую функции

функция общего вида (ни четная ни нечетная): функция, для которой не выполняются условие четности и условие нечетности. Функция общего вида не симметрична ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат

нули функции: абсциссы точек функции, ординаты которых равны нулю (т.е. абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс)

периодическая функция: функция, для каждой точки которой из области определения выполняется данное условие периодичности. Период функции: наименьшее положительное число, при котором выполняется данное условие периодичности

обратная функция. Если в аргумент обратной функции подставить значение прямой функции, то значение обратной функции будет равно аргументу прямой функции, соответствующему подставленному значению. Прямая и обратная функции – взаимно обратные функции (они симметричны друг другу относительно прямой у=х). Алгоритм получения обратной функции: 1) в аналитической записи функции заменить х на у, у на х (графически это означает заменить названия соответствующих осей), 2) выразить у через х (графически это означает развернуть систему координат относительно прямой у=х так, чтобы оси приняли исходное положение, тогда изначальная прямая функция, разворачиваемая вместе с осями, станет обратной)

Элементарные функции (степенные)

прямая: 1) аналитический вид прямой (формула); 2) пересечение прямой с осями координат; 3) угловой коэффициент прямой; 4) вид графика прямой для положительного и отрицательного углового коэффициента; 5) частные случаи прямой: прямая пропорциональность (график проходит через начало координат, b=0), горизонтальная прямая (k=0)

парабола (график и аналитический вид)

график корня (ветвь параболы: график и аналитический вид)

кубическая парабола (график и аналитический вид)

гипербола (график и аналитический вид при k>0)

гипербола (график и аналитический вид при k<0)

квадратичная функция: аналитическая запись; абсцисса и ордината вершины; положение ветвей в зависимости от знака коэффициента а (при положительном: ветви вверх; при отрицательном: ветви вниз)

квадратичная функция: связь коэффициента в с коэффициентом а и абсциссой вершины; коэффициент с (ордината точки пересечения квадратичной функции с осью ординат)

квадратное уравнение: решение квадратного уравнения (через дискриминант); расположение корней квадратного уравнения в зависимости от расположения графика квадратичной функции; расположение графика квадратичной функции в зависимости от дискриминанта

приведенная теорема Виета, теорема Виета, разложение квадратного трехчлена на множители

Степенная функция (классификация)

степенная функция с натуральной нечетной степенью (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с натуральной четной степенью (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с отрицательной нечетной степенью (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с отрицательной четной степенью (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с дробной степенью в числителе которой единица, а в знаменателе натуральное нечетное число (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с дробной степенью в числителе которой единица, а в знаменателе натуральное четное число (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с отрицательной дробной степенью в числителе которой единица, а в знаменателе натуральное нечетное число (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция с отрицательной дробной степенью в числителе которой единица, а в знаменателе натуральное четное число (пунктиром обозначен предельный вид, к которому стремится функция с возрастанием натурального числа n)

степенная функция (общий вид при произвольном действительном значении p)

Элементарные геометрические преобразования графиков функций

из функции y=f(x) получить функцию y=-f(x) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: отобразить график функции y=f(x) симметрично относительно оси абсцисс

из функции y=f(x) получить функцию y=f(-x) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: отобразить график функции y=f(x) симметрично относительно оси ординат

из функции y=f(x) получить функцию y=|f(x)| (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) часть графика, лежащую выше оси абсцисс оставить без изменения, 2) часть графика, лежащую ниже оси абсцисс отобразить симметрично относительно оси абсцисс. Объединение полученных частей – график искомой функции

из функции y=f(x) получить функцию y=f(|x|) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) часть графика, лежащую правее оси ординат оставить без изменения, 2) часть графика, лежащую левее оси ординат убрать, 3) левее оси ординат дорисовать часть графика, симметричную оставшейся правее оси ординат части графика. Объединение полученных частей – график искомой функции

из функции y=f(x) получить функцию y=f(x)+a или функцию y=f(x)-a (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) для получения графика функции y=f(x)+a: перенести график функции y=f(x) на a единиц по направлению оси ординат (вверх); 2) для получения графика функции y=f(x)-a: перенести график функции y=f(x) на a единиц противоположно направлению оси ординат (вниз)

из функции y=f(x) получить функцию y=f(x+a) или функцию y=f(x-a) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) для получения графика функции y=f(x+a): перенести график функции y=f(x) на a единиц противоположно направлению оси абсцисс (влево); 2) для получения графика функции y=f(x-a): перенести график функции y=f(x) на a единиц по направлению оси абсцисс (вправо)

из функции y=f(x) получить функцию y=af(x) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) для a>1: растянуть график функции y=f(x) в a раз от оси абсцисс (расстояние от оси абсцисс до каждой точки графика увеличивается в а раз); 2) для 0<a<1: сжать график функции y=f(x) в a раз к оси абсцисс (расстояние от оси абсцисс до каждой точки графика уменьшается в а раз)

из функции y=f(x) получить функцию y=f(ax) (элементарные геометрические преобразования графика произвольной функции). Алгоритм: 1) для a>1: сжать график функции y=f(x) в a раз к оси ординат (расстояние от оси ординат до каждой точки графика уменьшается в а раз); 2) для 0<a<1: растянуть график функции y=f(x) в a раз от оси ординат (расстояние от оси ординат до каждой точки графика увеличивается в а раз)

Метод интервалов

метод интервалов (основной метод решения неравенств); 1) все члены перенести в левую часть неравенства (тогда в правой части получим функцию), 2) найти нули полученной функции, 3) найти область определения полученной функции, 4) нули и выколотые точки разбивают ось абсцисс на интервалы, внутри каждого из которых нужно найти знак полученной функции (ответ записываем в зависимости от знака неравенства: ">" выбираем "+"; "<" выбираем "-"), 5) КЧК - корень четной кратности (корень или выколотая точка области определения, повторяющаяся четное количество раз). Интервалы, находящиеся по обе стороны от КЧК имеют одинаковые знаки