Тригонометрія

Тригонометрия

тригонометрические функции (определение через треугольник). Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему; котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему

тригонометрические функции (определение через окружность). Для точки на единичной окружности с центром в начале координат: cинус – ордината; косинус – абсцисса; тангенс – отношение ординаты к абсциссе; котангенс – отношение абсциссы к ординате

отсчет угла на декартовой системе координат (от нуля в положительном направлении) производится от положительного направления оси абсцисс к положительному направлению оси ординат, т.е. против часовой стрелки. В соответствии с этим производится нумерация координатных четвертей (в отрицательном направлении угол отсчитывается по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс)

градусная система измерения углов: полный оборот по окружности составляет 360°, половина оборота 180°, четверть оборота 90°

радиан – мера центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу. Полный оборот по окружности составляет 2Π радиан, половина оборота Π радиан, четверть оборота Π/2 радиан

знаковые диаграммы тригонометрических функций для углов, соответствующих точкам на окружности в каждой координатной четверти: у синуса знак такой же, как и у ординаты точки; у косинуса знак такой же как и у абсциссы точки; у тангенса и котангенса: знак положительный, если знаки абсциссы и ординаты точки одинаковые, и отрицательный, если различные

таблица основных значений тригонометрических функций (первая часть таблицы получается из равнобедренного прямоугольного треугольника и из половины равностороннего треугольника; вторая часть таблицы получается из точек пересечения единичной окружности, с центром в начале координат, с осями системы координат)

формула перевода из радиан в грудусы (для запоминания: градусы стоят вверху, а радианы сокращаются)

формула перевода из градусов в радианы (для запоминания: радианы стоят вверху, а градусы сокращаются)

период синуса и косинуса равен 2Π

период тангенса и котангенса равен Π

формулы периодичности тригонометрических функций (в соответствии с определением периодической функции)

формулы приведения (общий конструктор): 1) если формула конструируется от горизонтального диаметра, то исходная функция не изменяется; 2) если формула конструируется от вертикального диаметра, то исходная функция изменяется на кофункцию; 3) перед полученной функцией ставится знак исходной функции, который определяется из знаковых диаграмм, считая: 0°<Α<90°. Всего можно сконструировать 72 формулы (таблица формул приведения)

Графики тригонометрических функций

график синуса (с отмеченными ключевыми точками)

график косинуса (с отмеченными ключевыми точками)

график тангенса (с отмеченными ключевыми точками)

график котангенса (с отмеченными ключевыми точками)

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА:

Основные

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Суммы и разности аргументов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Двойного аргумента

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Тройного аргумента

1. 

2. 

3. 

4. 

Понижения степени

1. 

2. 

3. 

4. 

Половинного аргумента

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Выражения функций через тангенс половинного угла

1. 

2. 

3. 

4. 

Суммы и разности функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Произведения функций

1. 

2. 

3. 

Обратные тригонометрические тождества

определение обратных тригонометрических функций: 1) арксинус числа А, это угол α, если синус α равен А и α находится в указанном интервале; 2) арккосинус числа А, это угол α, если косинус α равен А и α находится в указанном интервале; 3) арктангенс числа А, это угол α, если тангенс α равен А и α находится в указанном интервале; 4) арккотангенс числа А, это угол α, если котангенс α равен А и α находится в указанном интервале;

тождества для обратных тригонометрических функций, содержащих знак минуса в аргументе

обратные тригонометрические тождества

тригонометрические тождества, содержащие в аргументе обратные тригонометрические функции (обратные функции соответствуют прямым)

тригонометрические тождества, содержащие в аргументе обратные тригонометрические функции (обратные функции не соответствуют прямым)

график арксинуса и график арккосинуса (с отмеченными ключевыми точками)

график арктангенса (с отмеченными ключевыми точками)

график арккотангенса (с отмеченными ключевыми точками)

Тригонометрические уравнения

1) линия тангенса (линия, каждая точка которой соответствует тангенсу угла между отрезком, проведенным в эту точку из начала координат, и положительным направлением оси абсцисс) 2) линия котангенса (линия, каждая точка которой соответствует котангенсу угла между отрезком, проведенным в эту точку из начала координат, и положительным направлением оси абсцисс)

тригонометрическое уравнение для синуса и его решение (при помощи окружности и синусоиды)

тригонометрическое уравнение для косинуса и его решение (при помощи окружности и косинусоиды)

тригонометрическое уравнение для тангенса и его решение (при помощи окружности и тангенсоиды)

тригонометрическое уравнение для котангенса и его решение (при помощи окружности и котангенсоиды)

Частные случаи решения тригонометрических уравнений

частные случаи решения тригонометрических уравнений (получаются графически)

Тригонометрические неравенства

тригонометрическое неравенство для синуса и его решение (при помощи окружности и синусоиды)

тригонометрическое неравенство для косинуса и его решение (при помощи окружности и косинусоиды)

тригонометрическое неравенство для тангенса и его решение (при помощи окружности и тангенсоиды)

тригонометрическое неравенство для котангенса и его решение (при помощи окружности и котангенсоиды)

Методы решения уравнений

однородное тригонометрическое уравнение (решается делением на косинус старшей степени с последующщей заменой тангенса и переходом к полиномиальному уравнению)

метод введения вспомогательного аргумента