Все теоремы по геометрии для ЗНО (с формулировками)
Теорема о смежных углах: сумма смежных углов равна 180 градусов
Теорема о вертикальных углах углах: вертикальные углы равны
Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
Признак равнобедренного треугольника: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный
Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: 1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; 2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой; 3) Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой
Теорема о параллельных прямых: две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой
Признак параллельности прямых: 1) если сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны; 2) если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; 3) если соответственные углы равны, то прямые параллельны
Свойство параллельных прямых: 1) если прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов; 2) если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны; 3) если прямые параллельны, то соответственные углы равны
Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусов
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности около произвольного треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к каждой из его сторон
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в любой треугольник — точка пересечения биссектрис треугольника
Признак параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм
Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и являются биссектрисами его углов
Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (или: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой)
Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках): параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (или: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки)
Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек, и равна ее половине
Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и равна их полусумме
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов
Любая сторона произвольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности
Первый признак подобия треугольников (по двум углам): если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Второй признак подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
Третий признак подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам): Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольнмка, то такие треугольники подобны
Теорема о вписанном и центральном углах: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла
Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон
Площадь параллелограмма равна 1) произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне; 2) произведению двух соседних сторон на синус угла между ними
Площадь треугольника равна 1) половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне; 2) половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними
Формула Герона: площадь треугольника, выраженная через его стороны и полупериметр
Площадь трапции равна произведению полусуммы оснований и высоты
Радиус описанной окружности, выраженный через длины сторон и площадь треугольника
Радиус вписанной окружности, выраженный через длины сторон и площадь треугольника
Длина окружности и площадь круга
Длина дуги, соответствующей центральному углу
Площадь сектора, соответствующего центральному углу
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
1) сумма внутренних углов n-угольника равна 180(n-2) градусов; 2)сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов
1) внутренний угол n-угольника (в градусах) равен отношению суммы внутренних углов к их количеству; 2) центральный угол n-угольника (в градусах) равен отношению 360 к количеству углов
Теорема косинусов: в любом треугольнике квадрат его любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Теорема синусов: в любом треугольнике отношение любой стороны к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника
В любой правильный n-угольник можно вписать окружность. Около любого правильного n-угольника можно описать окружность. Формулы для радиусов вписанной, описанной окружности и площади правильного n-угольника
Таблица для радиусов вписанной, описанной окружности и площади правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника
1) если сумма двух любых противолежащих углов четырехугольника равна 180 градусов, то четырехугольник можно вписать в окружность; 2) если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма двух его любых противолежащих углов равна 180 градусов
1) если сумма двух противолежащих сторон четырехугольника равна сумме двух других его противолежащих сторон, то четырехугольник можно описать около окружности; 2) если четырехугольник можно описать около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его противолежащих сторон
Формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы
Теорема о биссектрисе: биссектриса любого треугольника делит его сторону на отрезки, отношение которых равно отношению ее прилежащих сторон. Длина биссектрисы, выраженная через: 1) длины прилежащих сторон и отрезки, на которые она делит третью сторону; 2) стороны треугольника и его полупериметр; 3) прилежащие стороны и угол между ними
Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис (инцентром), считая от вершины, в отношении равном отношению суммы прилежащих сторон к третьей стороне
Медианы любого треугольника точкой пересечения (центроидом) делятся в отношении 2:1 считая от каждой вершины
Длина медианы, выраженная через стороны треугольника
Длина высоты, выраженная через площадь треугольника и сторону, к которой она проведена
В любом треугольнике равны между собой каждое из произведений расстояния от ортоцентра (точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника) до любой его стороны на расстояние от ортоцентра до вершины противолежащей этой стороне. Квадрат диаметра описанной окружности около любого треугольника равен сумме квадрата любой его стороны и квадрата расстояния от ортоцентра до вершины, противолежащей этой стороне
Метрические соотношения в окружности (свойство хорд): хорды окружности точкой пересечения делятся на отрезки, такие что: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды
Метрические соотношения в окружности (свойство секущих): секущие к окружности, проведенные из одной точки, точками пересечения делятся на отрезки, такие что: произведение отрезков одной секущей, соединяющих общую точку секущих с каждой из точек пересечения ее с окружностью, равно произведению соответствующих отрезков другой секущей
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: 1) квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу; 2) высота равна отношению произведения катетов к гипотенузе; 3) квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу; 4) высота равна произведению катета и отношения проекции второго катета к этому катету
1) площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия; 2) объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия
координата центра симметрии равна полусумме координат двух симметричных относительно него точек
При параллельном переносе точки, к ее координатам добавляются соответствующие координаты вектора, задающего параллельный перенос
Гомотетия: если два вектора имеют общее начало, и первый вектор при умножении на заданное число дает второй вектор, то верно следующее: конец первого вектора переходит в конец второго при гомотетии с центром в общем начале векторов и коэффициентом гомотетии, равным заданному числу
Общее уравнение прямой на плоскости
Если угловые коэффициенты прямых равны, то прямые параллельны. Если невертикальные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны
Если произведение угловых коэффициентов прямых равно минус единице, то прямые перпендикулярны. Если невертикальные прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно минус единице
Уравнение окружности
Если прямая перпендикулярна двум различным прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна плоскости
Теорема о трех перпендикулярах: 1) Если прямая, принадлежащая плоскости, и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной; 2) Если прямая, принадлежащая плоскости, и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции
Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов
Длина отрезка
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на плоскость
Угол между пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, каждая из которых принадлежит соответственно каждой из плоскостей и перпендикулярна к прямой пересечения этих плоскостей
Вектор и его координаты, нулевой вектор и его координаты
Векторы равны, если равны их модули и одинаковы направления
Правило умножения вектора на число: 1) модуль полученного вектора равен произведению модуля числа на модуль исходного вектора, 2) если число положительно, то полученный вектор сонаправлен с исходным, 3) если число отрицательно, то полученный вектор противоположно направлен исходному. Каждая из координат полученного вектора равна произведению числа и соответствующей координате исходного
Условие коллинеарности векторов: векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, и наоборот: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны
Сложение векторов по правилу треугольника: если конец первого вектора совместить с началом второго, то вектор их суммы равен вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго
Сложение векторов по правилу параллелограмма: если совместить начала двух векторов, то вектор их суммы равен вектору, совмещенному с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и имеет с ними общее начало
Координата вектора на некоторую ось системы (проекция вектора на ось) — разность координаты конца и начала вектора на эту ось. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора: квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций на оси системы координат
При сложении векторов — их соответствующие координаты складываются
Скалярное произведение векторов: 1) сумма произведений соответствующих координат, 2) произведение модулей векторов на косинус угла между ними. Косинус угла между векторами — отношение скалярного произведения к произведению модулей векторов
Условие перпендикулярности векторов: векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение равно нулю, и наоборот: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
Объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда
Объем и площадь полной поверхности призмы
Площадь боковой поверхности прямой призмы
Объем и площадь полной поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
Объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности цилиндра
Объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса
Теорема о смежных углах: сумма смежных углов равна 180 градусов
Теорема о вертикальных углах углах: вертикальные углы равны
Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
Признак равнобедренного треугольника: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный
Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: 1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; 2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой; 3) Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой
Теорема о параллельных прямых: две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой
Признак параллельности прямых: 1) если сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны; 2) если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; 3) если соответственные углы равны, то прямые параллельны
Свойство параллельных прямых: 1) если прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов; 2) если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны; 3) если прямые параллельны, то соответственные углы равны
Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180 градусов
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности около произвольного треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к каждой из его сторон
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в любой треугольник — точка пересечения биссектрис треугольника
Признак параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм
Свойство диагоналей параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам
Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма: в параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны
Свойство диагоналей прямоугольника: диагонали прямоугольника равны
Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и являются биссектрисами его углов
Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (или: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой)
Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках): параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (или: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки)
Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек, и равна ее половине
Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и равна их полусумме
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов
Любая сторона произвольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности
Первый признак подобия треугольников (по двум углам): если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Второй признак подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
Третий признак подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам): Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольнмка, то такие треугольники подобны
Теорема о вписанном и центральном углах: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла
Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон
Площадь параллелограмма равна 1) произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне; 2) произведению двух соседних сторон на синус угла между ними
Площадь треугольника равна 1) половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне; 2) половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними
Формула Герона: площадь треугольника, выраженная через его стороны и полупериметр
Площадь трапции равна произведению полусуммы оснований и высоты
Радиус описанной окружности, выраженный через длины сторон и площадь треугольника
Радиус вписанной окружности, выраженный через длины сторон и площадь треугольника
Длина окружности и площадь круга
Длина дуги, соответствующей центральному углу
Площадь сектора, соответствующего центральному углу
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
1) сумма внутренних углов n-угольника равна 180(n-2) градусов; 2)сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов
1) внутренний угол n-угольника (в градусах) равен отношению суммы внутренних углов к их количеству; 2) центральный угол n-угольника (в градусах) равен отношению 360 к количеству углов
Теорема косинусов: в любом треугольнике квадрат его любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Теорема синусов: в любом треугольнике отношение любой стороны к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника
В любой правильный n-угольник можно вписать окружность. Около любого правильного n-угольника можно описать окружность. Формулы для радиусов вписанной, описанной окружности и площади правильного n-угольника
Таблица для радиусов вписанной, описанной окружности и площади правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника
1) если сумма двух любых противолежащих углов четырехугольника равна 180 градусов, то четырехугольник можно вписать в окружность; 2) если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма двух его любых противолежащих углов равна 180 градусов
1) если сумма двух противолежащих сторон четырехугольника равна сумме двух других его противолежащих сторон, то четырехугольник можно описать около окружности; 2) если четырехугольник можно описать около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его противолежащих сторон
Формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы
Теорема о биссектрисе: биссектриса любого треугольника делит его сторону на отрезки, отношение которых равно отношению ее прилежащих сторон. Длина биссектрисы, выраженная через: 1) длины прилежащих сторон и отрезки, на которые она делит третью сторону; 2) стороны треугольника и его полупериметр; 3) прилежащие стороны и угол между ними
Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис (инцентром), считая от вершины, в отношении равном отношению суммы прилежащих сторон к третьей стороне
Медианы любого треугольника точкой пересечения (центроидом) делятся в отношении 2:1 считая от каждой вершины
Длина медианы, выраженная через стороны треугольника
Длина высоты, выраженная через площадь треугольника и сторону, к которой она проведена
В любом треугольнике равны между собой каждое из произведений расстояния от ортоцентра (точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника) до любой его стороны на расстояние от ортоцентра до вершины противолежащей этой стороне. Квадрат диаметра описанной окружности около любого треугольника равен сумме квадрата любой его стороны и квадрата расстояния от ортоцентра до вершины, противолежащей этой стороне
Метрические соотношения в окружности (свойство хорд): хорды окружности точкой пересечения делятся на отрезки, такие что: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды
Метрические соотношения в окружности (свойство секущих): секущие к окружности, проведенные из одной точки, точками пересечения делятся на отрезки, такие что: произведение отрезков одной секущей, соединяющих общую точку секущих с каждой из точек пересечения ее с окружностью, равно произведению соответствующих отрезков другой секущей
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: 1) квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу; 2) высота равна отношению произведения катетов к гипотенузе; 3) квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу; 4) высота равна произведению катета и отношения проекции второго катета к этому катету
1) площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия; 2) объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия
координата центра симметрии равна полусумме координат двух симметричных относительно него точек
При параллельном переносе точки, к ее координатам добавляются соответствующие координаты вектора, задающего параллельный перенос
Гомотетия: если два вектора имеют общее начало, и первый вектор при умножении на заданное число дает второй вектор, то верно следующее: конец первого вектора переходит в конец второго при гомотетии с центром в общем начале векторов и коэффициентом гомотетии, равным заданному числу
Общее уравнение прямой на плоскости
Если угловые коэффициенты прямых равны, то прямые параллельны. Если невертикальные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны
Если произведение угловых коэффициентов прямых равно минус единице, то прямые перпендикулярны. Если невертикальные прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно минус единице
Уравнение окружности
Если прямая перпендикулярна двум различным прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна плоскости
Теорема о трех перпендикулярах: 1) Если прямая, принадлежащая плоскости, и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной; 2) Если прямая, принадлежащая плоскости, и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции
Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов
Длина отрезка
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на плоскость
Угол между пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, каждая из которых принадлежит соответственно каждой из плоскостей и перпендикулярна к прямой пересечения этих плоскостей
Вектор и его координаты, нулевой вектор и его координаты
Векторы равны, если равны их модули и одинаковы направления
Правило умножения вектора на число: 1) модуль полученного вектора равен произведению модуля числа на модуль исходного вектора, 2) если число положительно, то полученный вектор сонаправлен с исходным, 3) если число отрицательно, то полученный вектор противоположно направлен исходному. Каждая из координат полученного вектора равна произведению числа и соответствующей координате исходного
Условие коллинеарности векторов: векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, и наоборот: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны
Сложение векторов по правилу треугольника: если конец первого вектора совместить с началом второго, то вектор их суммы равен вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго
Сложение векторов по правилу параллелограмма: если совместить начала двух векторов, то вектор их суммы равен вектору, совмещенному с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и имеет с ними общее начало
Координата вектора на некоторую ось системы (проекция вектора на ось) — разность координаты конца и начала вектора на эту ось. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора: квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций на оси системы координат
При сложении векторов — их соответствующие координаты складываются
Скалярное произведение векторов: 1) сумма произведений соответствующих координат, 2) произведение модулей векторов на косинус угла между ними. Косинус угла между векторами — отношение скалярного произведения к произведению модулей векторов
Условие перпендикулярности векторов: векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение равно нулю, и наоборот: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
Объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда
Объем и площадь полной поверхности призмы
Площадь боковой поверхности прямой призмы
Объем и площадь полной поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
Объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности цилиндра
Объем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса
Объем шара и площадь сферы