Показательная функция. Логарифм

показательная функция

график показательной функции для различных оснований. "a" – основание степени, "x" – показатель степени (при a>1 показательная функция возрастает, а при 0<a<1 показательная функция убывает)

взаимное расположение графиков показательных функций для различных оснований (как расположены друг относительно друга две показательные функции, у которых значения оснований находятся в интервале 0<a<1, и две показательные функции, у которых значения оснований находятся в интервале a>1)

показательное уравнение

показательное уравнение, это уравнение, где правая и левая части это показательные функции, в показателе степени каждой из которых находится своя функция. Из равенства показательных функций следует равенство показателей степени (при условии равенства оснований)

показательное неравенство

показательное неравенство, это неравенство, где правая и левая части это показательные функции, в показателе степени каждой из которых находится своя функция. От неравенства с показательными функциями переходят к неравенству с показателями степеней (при условии равенства оснований): 1) при 0<a<1, знак неравенства не изменяется; 2) при a>1, знак неравенства изменяется на противоположный

логарифмы

введение понятия логарифм: логарифм – это показатель степени. в которую нужно возвести число "a", чтобы получить число "b". В обозначении логарифма: "a" – основание логарифма, "b" – аргумент логарифма. Читается: логарифм по основанию "a" от "b"

область допустимых значений, накладываемая на основание и аргумент логарифма (они должны быть положительными, и основание не должно быть равно единице)

основное логарифмическое тождество (получается из определения логарифма)

логарифм по произвольному основанию от единицы равен нулю

логарифм при равенстве аргумента и основания равен единице

сумма логарифмов с равными основаниями равна логарифму по тому же основанию от произведения аргументов

разность логарифмов с равными основаниями равна логарифму по тому же основанию от отношения аргументов

если в аргументе логарифма находится число в степени, то степень можно вынести как множитель к логарифму

если в основании логарифма находится число в степени, то степень можно вынести в знаменатель дроби с единичным числителем, которая является множителем к логарифму

формула, являющаяся объединением двух предыдущих: если в основании и в аргументе логарифма находятся числа в некоторых степенях, то степень аргумента можно вынести в числитель, а степень основания в знаменатель дроби, которая является множителем к логарифму

произведение логарифмов, аргумент первого из которых равен основанию второго, равно логарифму с основанием первого и аргументом второго логарифмов (мнемонически: происходит как-бы сокращение равных аргумента и основания)

формула перехода к новому основанию (получается из предыдущей): в левой части тождества нет числа "a", но в правой оно появляется. Это означает, что число "a" можно выбрать произвольно: логарифм по произвольному основанию от произвольного аргумента равен отношению логарифмов с заранее выбранным основанием. Благодаря этому свойству, можно выбрать "стандартные основания" логарифмов, и любой логарифм по произвольному основанию от произволього аргумента можно будет представить в виде отношения логарифмов со стандартными основаниями

десятичный логарифм (стандартное основание 10)

натуральный логарифм (стандартное основание e: число Эйлера)

формула перехода к стандартному основанию (логарифм по произвольному основанию от произволього аргумента представлен в виде отношения логарифмов со стандартными основаниями)

формула коммутации аргумента и основания логарифма (аргумент и основание логарифма меняются местами)

формула коммутации основания степени, являющейся логарифмом, и аргумента логарифма (основание степени и аргумент логарифма меняются местами)

график логарифмической функции для различных оснований (при a>1 логарифмическая функция возрастает, а при 0<a<1 логарифмическая функция убывает)

взаимное расположение графиков логарифмических функций для различных оснований (как расположены друг относительно друга две логарифмические функции, у которых значения оснований находятся в интервале 0<a<1, и две логарифмические функции, у которых значения оснований находятся в интервале a>1)

логарифмическое уравнение

логарифмическое уравнение, это уравнение, где правая и левая части это логарифмические функции, в аргументе каждой из которых находится своя функция. Из равенства логарифмических функций следует равенство аргументов (при условии равенства оснований), кроме того аргументы каждой логарифмической функции должны быть положительные (получаем систему из одного уравнения и двух неравенств)

логарифмическое неравенство

логарифмическое неравенство, это неравенство, где правая и левая части это логарифмические функции, в аргументе каждой из которых находится своя функция. От неравенства с логарифмическими функциями переходят к неравенству с аргументами (при условии равенства оснований): 1) при 0<a<1, знак неравенства не изменяется; 2) при a>1, знак неравенства изменяется на противоположный. Кроме того аргументы каждой логарифмической функции должны быть положительные (получаем систему из трех неравенств)