Предел. Производная

Пределы

предел суммы двух функций в некоторой точке равен сумме пределов каждой из функций в этой точке (предел функции в некоторой точке – это значение функции в точке, соседней с данной, причем под "соседней" подразумеваются сразу две точки: соседняя справа и соседняя слева. Соседняя точка – это точка, бесконечно близкая к данной, т.е. такая, чтобы между ней и данной точкой не было других точек)

предел произведения двух функций в некоторой точке равен произведению пределов каждой из функций в этой точке

предел отношения двух функций в некоторой точке равен отношению пределов каждой из функций в этой точке (если предел функции в знаменателе не равен нулю)

непрерывность функции в точке: функция непрерывна в некоторой точке, если значение функции в этой точке равно пределу функции в этой точке (т.е. если предел функции в точке, соседней слева от данной, равен пределу функции в точке, соседней справа от данной, и равен значению функции в этой точке). Другими словами: функция непрерывна в некоторой точке, если точки функции, соседние по аргументу (абсциссе), существуют и бесконечно близки к данной точке функции (т.е. близки и по ординате). Непрерывная функция – это функция, являющаяся непрерывной в каждой точке области определения

Производные

определение производной: производная от функции в некоторой точке – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю

геометрический смысл производной: производная от функции в некоторой точке равна угловому коэффициенту касательной к функции в этой точке (т.е. тангенсу угла наклона касательной). Уравнение касательной

механический смысл производной: скорость равна первой производной от перемещения (или: проекция скорости на ось равна первой производной от координаты проекции точки на ось); ускорение равно первой производной от скорости, или второй производной от перемещения

производная от произведения константы и функции: константа выносится за знак производной

производная от суммы функций равна сумме производных от каждой из функций

производная от произведения функций

производная от отношения функций

производная от сложной функции равна произведению производной от функции по внутренней функции, как по аргументу, и производной от внутренней функции по ее аргументу. Сложная функция, это функция, у которой аргументом является другая функция

производная от константы равна нулю

производная от степенной функции с показателем степени 1

производная от степенной функции с показателем степени 2

производная от степенной функции с показателем степени 3

производная от степенной функции в общем виде

производная от корня квадратного

производная от синуса

производная от косинуса

производная от тангенса

производная от котангенса

производная от экспоненты равна экспоненте

производная от показательной функции

производная от натурального логарифма

производная от натурального логарифма от можуля аргумента

производная от логарифма по основанию "a"

производная от логарифма по основанию "a"

стационарные точки функции – точки, в которых производная равна нулю (т.е. точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна)

условие локального максимума: первая производная от функции в данной точке равна нулю; вторая производная от функции в данной точке меньше нуля. Точка локального максимума – абсцисса данной точки; локальный максимум – ордината данной точки

условие локального минимума: первая производная от функции в данной точке равна нулю; вторая производная от функции в данной точке больше нуля. Точка локального минимума – абсцисса данной точки; локальный минимум – ордината данной точки

точка перегиба: точка в которой вторая производная от функции равна нулю. Точка перегиба – точка, в которой функция изменяет выпуклость (функция может быть: 1) выпуклой (выпуклой кверху) – когда при равных абсциссах, ординаты точек касательной к функции в окрестности точки касания больше ординат точек функции; 2) вогнутой (выпуклой книзу) – когда при равных абсциссах, ординаты точек касательной к функции в окрестности точки касания меньше ординат точек функции)

наибольшее и наименьшее значение функции на интервале. Алгоритм нахождения: 1) найти значение функции в стационарных точках, 2) найти значение функции на концах интервала, 3) среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее значение